A Teoria dos Conjuntos é um dos primeiros tópicos abordados nas aulas de matemática do Ensino Médio. E apesar de parecer algo bastante simples, não entender esses conceitos pode afetar significativamente o seu desempenho nos conteúdos seguintes. Pensando nisso, preparamos um post especial para que você possa descobrir toda a importância desse tema e consiga construir uma base de conhecimento ainda mais sólida e bem estruturada. Vamos lá!
O que é a Teoria dos Conjuntos?
A Teoria dos Conjuntos é o campo de conhecimento que estuda as relações e agrupamentos de diferentes elementos matemáticos. Tudo começa com a simples relação entre um elemento e determinado conjunto. Por exemplo, se dissermos que o número 3 faz parte do conjunto A, devemos expressar essa relação da seguinte maneira:
3 ∈ A — leia-se: 3 pertence a A
Neste caso, o conjunto A pode ser definido como o conjunto dos números reais ímpares maiores que zero. Portanto, seus elementos serão listados da seguinte maneira:
A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21…}
Se quisermos indicar que um número não pertence a determinado conjunto, podemos escrever da seguinte maneira:
2∉ A – leia-se: 2 não pertence a A
Relações de inclusão
Em alguns casos, certos conjuntos podem ter elementos que também fazem parte de outros conjuntos. Por exemplo, o conjunto A dos números ímpares reais maiores que zero tem elementos que também fazem parte do conjunto B de números reais maiores que zero. Podemos descrever essa relação da seguinte forma:
Se B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}
A ⊂ B – leia-se: A está contido em B
Da mesma maneira, se quisermos indicar que um conjunto não tem elementos que fazem parte de outro conjunto, podemos escrever da seguinte forma:
Se P = {-3, -2, -1}
P ⊄ A – leia-se: P não está contido em A
Conjunto vazio
O conjunto vazio ou conjunto nulo é aquele que não possui nenhum elemento. Ele pode ser representado de duas maneiras:
C = { } ou C = ∅
Mas cuidado! Não é correto representar o conjunto vazio da seguinte maneira:
C = {Ø}
Uniões e intersecções
É possível unir os elementos de dois ou mais conjuntos diferentes. Para representar esse processo, use a seguinte notação:
Se J = {1, 2, 3, 6} e K = {2, 4, 5, 6},
J∪K = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Elementos em comum em dois conjuntos compõem a chamada “intersecção”, e podem ser representados da seguinte maneira:
J∩K = {2, 6}
Os conjuntos numéricos
Na matemática, existem alguns conjuntos utilizados com mais frequência. São eles:
Números Naturais: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8...}
Números Inteiros: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}
Números Racionais: Q = {..., -1, -12, 0, 1, 54...}
Números Irracionais: I = {...; v2; v3; 3,141592…}
Números Reais: R = N∪ Z ∪Q∪I
Esses conjuntos se relacionam de diversas formas e podem ser representados por meio do diagrama de Venn. Olhe só:
Agora que retomamos como funciona a Teoria dos Conjuntos, vamos descobrir por que ela é tão importante!
A teoria dos conjuntos tem tudo a ver com lógica
Observe as seguintes afirmações:
1 – Todas as crianças de 5 anos de idade que estão no parque são felizes.
2 – Crianças felizes sorriem bastante.
3 – João é uma criança de 5 anos de idade.
4 – João está no parque.
O que é possível afirmar sobre João?
Vamos colocar as informações presentes nas afirmações em alguns conjuntos matemáticos:
B = {crianças}
C = {crianças de 5 anos}
D = {crianças felizes}
E = {crianças que estão no parque}
Agora, vamos relacionar estes quatro conjuntos em um diagrama de Venn:
A área pintada de amarelo no diagrama corresponde ao grupo de crianças de 5 anos que são felizes e estão no parque. Vamos analisar a situação de João:
1 – João é uma criança, ou seja, pertence ao conjunto B.
2 – João tem 5 anos, ou seja, pertence ao conjunto C também.
3 – João está no parque, ou seja, pertence ao conjunto E também.
4 – Segundo a primeira afirmação, todas as crianças de 5 anos que estão no parque são felizes, ou seja, João pertence ao conjunto D também.
Logo, João sorri bastante.
O exemplo em questão é bastante simples, mas é uma ótima maneira de enxergar com mais clareza por que a Teoria dos Conjuntos é tão importante na hora de resolver problemas de lógica. Incrível, não?
É preciso saber a teoria dos conjuntos para trabalhar com funções?
Uma função pode ser definida como a regra que dita a relação entre dois conjuntos quaisquer. Essa regra “transforma” os elementos presentes no primeiro conjunto em elementos correspondentes no segundo. Não entendeu? Calma aí que a gente explica!
Observe a seguinte função:
f(x) = x + 1
O primeiro conjunto em questão é chamado de domínio e é representado pela letra “D”. Se o definirmos como o conjunto dos 10 primeiros números naturais, temos:
D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
O segundo conjunto é chamado de contradomínio. Se o definirmos como o conjunto dos 15 primeiros números naturais, temos:
C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}
A função descrita acima pode ser representada da seguinte forma:
O conjunto dos elementos do contradomínio que obedecem à função é chamado de imagem e é geralmente representado pela letra I. Veja:
I = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Viu só como é importante aprender sobre a Teoria dos Conjuntos para trabalhar com funções?
E não se esqueça: Existem várias outras questões envolvendo esse campo de estudo que também são cruciais para a plena compreensão dos tópicos subsequentes da matemática. Não deixe de estudá-las!
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