A Teoria dos Conjuntos é um dos primeiros tópicos abordados nas aulas de matemática do Ensino Médio. E apesar de parecer algo bastante simples, não entender esses conceitos pode afetar significativamente o seu desempenho nos conteúdos  seguintes. Pensando nisso, preparamos um post especial para que você possa descobrir toda a importância desse tema e consiga construir uma base de conhecimento ainda mais sólida e bem estruturada. Vamos lá!

O que é a Teoria dos Conjuntos?

A Teoria dos Conjuntos é o campo de conhecimento que estuda as relações e agrupamentos de diferentes elementos matemáticos. Tudo começa com a simples relação entre um elemento e determinado conjunto. Por exemplo, se dissermos que o número 3 faz parte do conjunto A, devemos expressar essa relação da seguinte maneira:

3 ∈ A — leia-se: 3 pertence a A

Neste caso, o conjunto A pode ser definido como o conjunto dos números reais ímpares maiores que zero. Portanto, seus elementos serão listados da seguinte maneira:

A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21…}

Se quisermos indicar que um número não pertence a determinado conjunto, podemos escrever da seguinte maneira:

2∉ A – leia-se: 2 não pertence a A

Relações de inclusão

Em alguns casos, certos conjuntos podem ter elementos que também fazem parte de outros conjuntos. Por exemplo, o conjunto A dos números ímpares reais maiores que zero tem elementos que também fazem parte do conjunto B de números reais maiores que zero. Podemos descrever essa relação da seguinte forma:

Se B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}

A ⊂ B – leia-se: A está contido em B

Da mesma maneira, se quisermos indicar que um conjunto não tem elementos que fazem parte de outro conjunto, podemos escrever da seguinte forma:

Se P = {-3, -2, -1}

P ⊄ A – leia-se: P não está contido em A

Conjunto vazio

O conjunto vazio ou conjunto nulo é aquele que não possui nenhum elemento. Ele pode ser representado de duas maneiras:

C = { } ou C = ∅

Mas cuidado! Não é correto representar o conjunto vazio da seguinte maneira:

C = {Ø}

Uniões e intersecções

É possível unir os elementos de dois ou mais conjuntos diferentes. Para representar esse processo, use a seguinte notação:

Se J = {1, 2, 3, 6} e K = {2, 4, 5, 6},

J∪K = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Elementos em comum em dois conjuntos compõem a chamada “intersecção”, e podem ser representados da seguinte maneira:

J∩K = {2, 6}

Os conjuntos numéricos

Na matemática, existem alguns conjuntos utilizados com mais frequência. São eles:

Números Naturais: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8...}

Números Inteiros: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}

Números Racionais: Q = {..., -1, -12, 0, 1, 54...}

Números Irracionais: I = {...; v2; v3; 3,141592…}

Números Reais: R = N∪ Z ∪Q∪I

Esses conjuntos se relacionam de diversas formas e podem ser representados por meio do diagrama de Venn. Olhe só:

Agora que retomamos como funciona a Teoria dos Conjuntos, vamos descobrir por que ela é tão importante!

A teoria dos conjuntos tem tudo a ver com lógica

Observe as seguintes afirmações:

1 – Todas as crianças de 5 anos de idade que estão no parque são felizes.

2 – Crianças felizes sorriem bastante.

3 – João é uma criança de 5 anos de idade.

4 – João está no parque.

O que é possível afirmar sobre João?

Vamos colocar as informações presentes nas afirmações em alguns conjuntos matemáticos:

B = {crianças}

C = {crianças de 5 anos}

D = {crianças felizes}

E = {crianças que estão no parque}

Agora, vamos relacionar estes quatro conjuntos em um diagrama de Venn:

A área pintada de amarelo no diagrama corresponde ao grupo de crianças de 5 anos que são felizes e estão no parque. Vamos analisar a situação de João:

1 – João é uma criança, ou seja, pertence ao conjunto B.

2 – João tem 5 anos, ou seja, pertence ao conjunto C também.

3 – João está no parque, ou seja, pertence ao conjunto E também.

4 – Segundo a primeira afirmação, todas as crianças de 5 anos que estão no parque são felizes, ou seja, João pertence ao conjunto D também.

Logo, João sorri bastante.

O exemplo em questão é bastante simples, mas é uma ótima maneira de enxergar com mais clareza por que a Teoria dos Conjuntos é tão importante na hora de resolver problemas de lógica. Incrível, não?

É preciso saber a teoria dos conjuntos para trabalhar com funções?

Uma função pode ser definida como a regra que dita a relação entre dois conjuntos quaisquer. Essa regra “transforma” os elementos presentes no primeiro conjunto em elementos correspondentes no segundo. Não entendeu? Calma aí que a gente explica!

Observe a seguinte função:

f(x) = x + 1

O primeiro conjunto em questão é chamado de domínio e é representado pela letra “D”. Se o definirmos como o conjunto dos 10 primeiros números naturais, temos:

D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

O segundo conjunto é chamado de contradomínio. Se o definirmos como o conjunto dos 15 primeiros números naturais, temos:

C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}

A função descrita acima pode ser representada da seguinte forma:

O conjunto dos elementos do contradomínio que obedecem à função é chamado de imagem e é geralmente representado pela letra I. Veja:

I = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Viu só como é importante aprender sobre a Teoria dos Conjuntos para trabalhar com funções?

E não se esqueça: Existem várias outras questões envolvendo esse campo de estudo que também são cruciais para a plena compreensão dos tópicos subsequentes da matemática. Não deixe de estudá-las!

Aqui estudar é poder!

O COC dispõe dos recursos mais modernos que a tecnologia oferece para o aprendizado. Clique aqui e conheça a unidade mais próxima de você.