A potenciação figura entre uma das principais operações matemáticas e, por isso, conhecê-la é essencial para lidar com os diversos desafios da disciplina. Para ajudar você a relembrar esse conteúdo, nós preparamos um resumão com as suas principais propriedades e regras para resolver esses cálculos. Confira!
O que é a potenciação?
Também chamada de exponenciação, a potenciação representa a multiplicação de fatores iguais, ou seja, representa um número que é multiplicado por si mesmo diversas vezes.
Para descrevê-la, utiliza-se uma notação específica. Entenda:
an = a × a × a × a × a × a... |
Neste caso, sendo a ? 0, temos:
a = base:corresponde ao número que está sendo multiplicado por ele mesmo.
n = expoente:é o número de vezes que o número da base será multiplicado.
Vamos conferir um exemplo?
3² = 3 × 3 = 9
Aqui, lê-se três elevado à segunda potência ou três elevado ao quadrado. O número 3 é a base, ou seja, o número que será multiplicado, enquanto o número 2 representa a quantidade de vezes que esta operação será realizada. O resultado final, representado pelo número 9, é chamado de potência.
Confira outros exemplos:
65 = 6 × 6 × 6 × 6 × 6 = 46565 ? aqui, lê-se: seis elevado à quinta potência.
25³ = 25 × 25 × 25 = 15625 ? aqui, lê-se: vinte e cinco elevado à terceira potência ou vinte e cinco elevado ao cubo.
12¹° = 12 × 12 × 12 × 12 × 12 × 12 × 12 × 12 × 12 × 12 ? aqui, lê-se: doze elevado à décima potência.
Propriedades da potenciação
A potenciação possui uma série de propriedades interessantes que podem te ajudar a resolver os cálculos mais facilmente. Confira quais são as principais.
Propriedade 1
Para toda potência cujo expoente é zero, o resultado sempre será igual a 1. Portanto:
a° = 1 |
Exemplos:
47° = 1
259° = 1
32567° = 1
Propriedade 2
Para toda potência cujo expoente é um, o resultado sempre será igual à própria base. Confira:
a¹ = a |
Exemplos:
7¹ = 7
84¹ = 84
290¹ = 290
Propriedade 3
Para toda potência cuja base é um, o resultado será o mesmo número um. Logo:
1n = 1 |
Exemplos:
13 = 1
125 = 1
1244 = 1
Propriedade 4
Toda a potência de base 10 terá, como resultado, o número 1 seguido pelo número de zeros representado pelo seu expoente. Entenda:
10n = 1 + n vezes o zero |
Exemplo:
10² = 100 ? expoente dois = dois zeros
105= 100000 ? expoente cinco = cinco zeros
108 = 100000000 ? expoente oito = oito zeros
Propriedade 5
Quando a base for um número negativo e o expoente um número ímpar, o resultado será uma potência também negativa. Acompanhe:
(-a)n = -x, sendo n um número ímpar |
Exemplos:
(-9)3 = (-9) × (-9) × (-9) = -729
(-10)5 = (-10) × (-10) × (-10) × (-10) × (-10) = -100000
(-2)9 = (-2) × (-2) × (-2) × (-2) × (-2) × (-2) × (-2) × (-2) × (-2) = -512
Propriedade 6
Quando a base for um número negativo e o expoente um número par, o resultado será uma potência positiva. Perceba:
(-a)n = x, sendo n um número par |
Exemplos:
(-9)4 = (-9) × (-9) × (-9) × (-9) = 6561
(-10)8 = (-10) × (-10) × (-10) × (-10) × (-10) × (-10) × (-10) × (-10) = 100000000
(-2)2 = (-2) × (-2) = 4
Propriedade 7
Quando o expoente é um número negativo, a base é invertida e o sinal torna-se positivo. Acompanhe:
(a)-n = (1/a)n |
Exemplos:
(3)-3 = (1/3)³ = (1/27)
(14)-4 = (1/14)4 = (1/38416)
(30)-2 = (1/30)² = (1/900)
Propriedade 8
No caso da potenciação de frações, seu numerador e seu denominador são elevados ao expoente. Veja:
(a/b)n = (an/bn) |
Exemplos:
(4/5)² = (4²/5²) = 16/25
(6/9)4 = (64/94) = 1296/6561
(1/3)8 = (18/38) = 1/6561
Operações matemáticas com potências
Para realizar diferentes operações matemáticas com a potenciação, também existem algumas regrinhas muito importantes. Veja abaixo/a seguir
Multiplicação de potências
Para obter o produto de potências com bases iguais, somam-se os seus expoentes.
an × am = an + m |
Exemplos:
25 × 27 = 25 + 7 = 212
188 × 1824 = 188 + 24 = 1832
14414 × 14418 = 14414 + 18 = 14432
Divisão de potências
Para obter o produto da divisão de potências com bases iguais, subtraem-se os seus expoentes.
(a)n ÷ (a)m = an - m |
Exemplos:
25 ÷ 27 = 25 - 7 = 2-2
188 ÷ 1824 = 188 - 24 = 18-16
14414 ÷ 14418 = 14414 - 18 = 144-4
Potência de uma potência
Quando é necessário calcular uma potência que está elevada a outra potência, mantém-se a base e multiplicam-se os expoentes.
(an)m = an × m |
Exemplos:
(162)6 = 162 × 6 = 1612
(2563)9 = 2563 × 9 = 25627
(7210)3 = 7210 × 3 = 7230
Potência de um produto
Ao calcular o expoente de um produto, é necessário ter em mente que tal expoente vale para todos os fatores.
(a × b)n = (an × bn) |
Exemplos:
(12 × 24)3 = (123 × 243)
(9 × 4)6 = (96 × 46)
(54 × 3)8 = (548 × 38)
Multiplicação de um mesmo expoente
Quando é necessário multiplicar grandezas com o mesmo expoente, multiplicam-se as bases e conserva-se o valor do expoente.
(a)n × (b)n = (a × b)n |
Exemplos:
(3)2 × (9)2 = (3 × 9)2
(13)5 × (14)5 = (13 × 14)5
(64)3 × (81)3 = (64 × 81)3
Apesar de soarem um pouquinho complicados, os cálculos por trás da potenciação são simples, e compreender as suas diversas propriedades pode ser um instrumento útil para solucioná-los com mais tranquilidade.
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