Logaritmo é um assunto recorrente no Ensino Médio e também no Enem, principalmente porque envolve outros temas como a fatoração. Entender as propriedades logarítmicas pode até parecer complicado, mas se você aprender as definições básicas, conseguirá progredir e resolver problemas mais complexos. Vamos lá!

Definição de logaritmos

Em primeiro lugar, vamos relembrar o conceito de exponenciação ou fatoração, que significa a multiplicação do número por si mesmo diversas vezes. Por exemplo:

 

23 = 2x2x2 = 8

 

De outra maneira, podemos dizer que a expressão acima equivale ao número 2 elevado à 3ª potência. Vamos a outro exemplo:

 

Qual o resultado de 2 elevado à quinta potência?

 

25 = 2x2x2x2x2 = 32

 

Agora, imagine que nós mudamos a variável da pergunta e queremos saber a qual potência o número 2 deve ser elevado para dar 32 como resultado. Para resolver essa questão, existem os logaritmos! Aprenda um pouco mais sobre eles a seguir:

 

loga b = c

 

De acordo com a sua estrutura, o número c representa a qual potência elevamos a para obter b como resposta. Além disso, o logaritmo segue as seguintes condições:

 

a,b e c são números reais

a > 0 e a ≠ 1

b > 0

 

A nomenclatura de cada um dos elementos é:

 

a = base

b = logaritmando

c = logaritmo

 

Veja como resolver um logaritmo simples:

log464 = x

4x = 64

 

Para encontrar a resposta, devemos fatorar o número 64:

 

64/2

32/2

16/2

8/2

4/2

2/2

1

 

O resultado é 26, porém, para equiparar à base do logaritmo, nós podemos escrevê-lo na base 4, veja:

 

26 = 2x2x2x2x2x2 = 4x4x4 = 43

 

Substituindo os valores temos:

 

log4 64 = 3

 

Veja mais exemplos:

 

log39 = 2

 

log525 = 2

 

log2-32 = Não existe, pois b não pode ser menor que 0.

 

Consequências da definição

 

A própria definição de logaritmo resulta em alguns casos notáveis, como:

 

1) loga 1 = 0

 

Qualquer base elevada a 0 é igual a 1.

 

2) logaa = 1

 

Qualquer número elevado a 1 é igual a ele mesmo.

 

3) loga am = m

 

Para termos o resultado am,  precisamos elevar a à potência m; logo am = am

 

4) alogaN= N

 

Veja a demonstração:

Supondo que loga N = m,  am = N(1)

alogaN  = am  (2)

Comparando as duas:

 alogaN = am = N

 logo:

 alogaN= N

 Propriedades dos logaritmos

 

Ainda a partir das definições de logaritmos, podemos desenvolver algumas das propriedades frequentemente utilizadas nos cálculos. Para tal, é preciso considerar as seguintes condições:

 

a,b e c = números reais positivos

a≠1

b e c não nulos

 

Veja as propriedades:

 

Propriedade 1: loga(b.c) = logab + logac

O logaritmo do produto de (b.c) é igual à soma do logaritmo de b com o logaritmo de c. Veja:

 

log2(4.8) = 2 + 3

log2(4.8) = 5

 

Propriedade 2: logab/c = logab - logac

O logaritmo do quociente de (b/c) é igual à diferença entre o logaritmo de b e o logaritmo de c. Veja:

 

log327/9 = log327 - log39

log327/9 = 3 - 2

log327/9 = 1

 

Propriedade 3: logabc = c.logab

O logaritmo da potência bc será igual à multiplicação de c pelo logaritmo de b. Veja:

 

log283 = 3.log28

log283 = 3.3

log283 = 9


Propriedade 4: loga(c√b) = 1/c . logab

O logaritmo de (c√b) é igual ao inverso de c multiplicado pelo logaritmo de b. Veja:

 

log35√9 = 1/3 . log39

log35√9 = 1/3 . 2

log35√9 = 2/3

 

Mudança de base

Há casos em que sabemos o valor do logaritmo de um número em uma base a, mas queremos o valor do logaritmo em outra base. Para isso, utilizamos a propriedade da mudança de base, veja:

 

logab = logcb/logca

A propriedade da mudança de base diz que o logaritmo de um número de base b é igual ao logaritmo desse número em uma base c, dividido pelo logaritmo da base a na base c. A equação também pode ser escrita da seguinte maneira:

 

logca . logab = logcb

O assunto de logaritmos pode ser bem complexo e, para aprender tudo, você precisa praticar bastante! Estude as definições e as propriedades básicas, faça exercícios e avance para exemplos mais complexos.

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