Entre os grandes teóricos e estudiosos da matemática, as sequências numéricas figuram como um tema que desperta admiração e profundo interesse, pois a constante busca por leis de formação e a formulação de tais padrões se apresentam como grandes desafios. A progressão aritmética, em especial, foi uma das sequências e padrões lógicos que mais se destacaram ao longo da história. Que tal conhecê-la?

A Sequência de Fibonacci

Durante a Idade Média, Leonardo Fibonacci recebeu grande destaque entre os nomes das ciências matemáticas à época. Entre suas contribuições está a inserção dos algarismos arábicos e, claro, a criação da sequência que leva seu sobrenome: Sequência de Fibonacci.

Essa sequência configura-se com seu primeiro e segundo elemento sendo representados pelo número 1, enquanto os demais são todos originados pela soma de seus antecessores. Veja:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181…

A sequência consiste na correta organização de numerais tendo como referência uma constante matemática - neste caso, representada pelo número 1,6, resultado da divisão entre um número e seu antecessor a partir do número 3.

A Sequência de Fibonacci recebeu grande destaque devido à sua aproximação com os fenômenos naturais. O matemático percebeu esse tipo de relação numérica ao observar a evolução de uma população de coelhos originada por um único casal da espécie. Ao observar outras referências naturais, também percebeu padrões semelhantes nas folhas das bromélias e nas espirais de um caracol, por exemplo.

A sequência também recebe o nome de proporção áurea, sendo muito utilizada, inclusive, em diversos campos artísticos. E é daqui que surge ainda o conceito do que chamamos de progressão aritmética.

O que é uma progressão aritmética?

A progressão aritmética, ou PA, é uma sequência numérica cujos elementos são definidos a partir da soma de seu antecessor a um valor constante. A explicação pode soar complicada, mas o conceito é bem simples. Observe a sequência abaixo:

Nesse caso, perceba como a sequência numérica apresenta uma constante comum, sempre somada a um número anterior para originar o seguinte. Aqui, o valor da constante é 4. Acompanhe:

a2 = a1 + 4 = 6

a3 = a2 + 4 = 10

a4 = a3 + 4 = 14

a5 = a4 + 4 = 18

a6 = a5 + 4 = 22

a7 = a6 + 4 = 26

a8 = a7 + 4 = 30

a9 = a8 + 4 = 34

a10 = a9 + 4 = 38

Percebeu como funciona? Esse valor constante recebe o nome de razão e é representado pela letra r. Portanto, podemos dizer que:

O valor da razão de uma progressão aritmética é capaz de afirmar se ela é crescente, constante ou decrescente.

Quando r > 0, todos os elementos da progressão aritmética estão em ordem crescente.

Quando r = 0, todos os elementos da progressão aritmética são constantes.

Quando r < 0, todos os elementos da progressão aritmética estão em ordem decrescente.

É possível ainda perceber que em uma progressão aritmética, ao subtrair de um termo o seu antecessor, também encontramos o valor de sua razão:

a2 - a1  = a1 + r - a1  = r

a₃ - a₂  = a₂ + r - a₂  = r

a₄ - a₃  = a₃ + r - a₃  = r

Vale ressaltar que, para uma sequência numérica ser considerada uma progressão aritmética, é necessário conhecer seu primeiro termo e sua razão - ou as informações necessárias para ser capaz de descobri-los.

Quando se trata de uma PA, é possível envolver uma grande quantidade de operações matemáticas. No entanto, para realizá-las de maneira apropriada, é importante ter algumas fórmulas em mente. Confira:

Termo geral de uma progressão aritmética

Considerando uma progressão aritmética (a1, a2, a3, a4, a5… an), com a razão r, percebemos que:

a2 - a1 = r

a2 = a1 + r

a₃ = a₂ + r  ? a₃ =  a1 + r + r  ? a₃ =  a1 + 2r

a₄ = a₃ + r  ? a₄ = a1 + 2r + r  ? a₄ = a1 + 3r

Portanto, seguindo essa lógica, é possível encontrar um elemento específico dentro de uma progressão aritmética com a seguinte fórmula:

Vamos praticar? Acompanhe o exemplo:

Considere encontrar o 12º termo de uma progressão aritmética, sabendo que a1 = 2 e r = 4.

an = a₁ + (n - 1) × r  ? a₁₂ = 2  + (12 - 1) × 4

a₁₂ = 2  + (11) × 4

a₁₂ = 2  + 11 × 4

a₁₂ = 2  + 11 × 4

a₁₂ = 2  + 44 = 46

Portanto, o 12º termo da progressão será 46.

Soma dos termos de uma progressão aritmética

Para realizar a soma de determinados termos que compõem uma progressão aritmética, utiliza-se a seguinte fórmula:

Que tal aplicar a fórmula para entendê-la melhor? Veja:

Calcule a soma dos oito primeiros termos de uma progressão aritmética, sabendo que  a1 = 2 e a8 = 30.

S? = ^{(a1 + a?) × n}/₂ ? S8 = ^{(2 + 30) × 8}/₂

S8 = ^{(32) × 8}/₂

S8 = ²⁵⁶/₂ ? S8 = 128

Portanto, a soma dos oito primeiros termos dessa progressão é 128.

Propriedade especial de uma progressão aritmética

Em uma progressão aritmética, para três termos consecutivos, o termo central é igual à média dos outros dois termos. Acompanhe:

Para a progressão (...a, b, c…), temos:

r = b - a

r = c - b

Logo, b - a = c - b  ?  2b = a + c

Portanto, b = ^{a + c}/₂

Viu só? A progressão aritmética é uma importante sequência numérica, e compreendê-la é uma ótima oportunidade para perceber como ela está presente em diversos detalhes do nosso dia a dia.

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