Entre os grandes teóricos e estudiosos da matemática, as sequências numéricas figuram como um tema que desperta admiração e profundo interesse, pois a constante busca por leis de formação e a formulação de tais padrões se apresentam como grandes desafios. A progressão aritmética, em especial, foi uma das sequências e padrões lógicos que mais se destacaram ao longo da história. Que tal conhecê-la?
A Sequência de Fibonacci
Durante a Idade Média, Leonardo Fibonacci recebeu grande destaque entre os nomes das ciências matemáticas à época. Entre suas contribuições está a inserção dos algarismos arábicos e, claro, a criação da sequência que leva seu sobrenome: Sequência de Fibonacci.
Essa sequência configura-se com seu primeiro e segundo elemento sendo representados pelo número 1, enquanto os demais são todos originados pela soma de seus antecessores. Veja:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181…
A sequência consiste na correta organização de numerais tendo como referência uma constante matemática - neste caso, representada pelo número 1,6, resultado da divisão entre um número e seu antecessor a partir do número 3.
A Sequência de Fibonacci recebeu grande destaque devido à sua aproximação com os fenômenos naturais. O matemático percebeu esse tipo de relação numérica ao observar a evolução de uma população de coelhos originada por um único casal da espécie. Ao observar outras referências naturais, também percebeu padrões semelhantes nas folhas das bromélias e nas espirais de um caracol, por exemplo.
A sequência também recebe o nome de proporção áurea, sendo muito utilizada, inclusive, em diversos campos artísticos. E é daqui que surge ainda o conceito do que chamamos de progressão aritmética.
O que é uma progressão aritmética?
A progressão aritmética, ou PA, é uma sequência numérica cujos elementos são definidos a partir da soma de seu antecessor a um valor constante. A explicação pode soar complicada, mas o conceito é bem simples. Observe a sequência abaixo:
(2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, 38) |
Nesse caso, perceba como a sequência numérica apresenta uma constante comum, sempre somada a um número anterior para originar o seguinte. Aqui, o valor da constante é 4. Acompanhe:
a1 = 2 |
a2 = a1 + 4 = 6
a3 = a2 + 4 = 10
a4 = a3 + 4 = 14
a5 = a4 + 4 = 18
a6 = a5 + 4 = 22
a7 = a6 + 4 = 26
a8 = a7 + 4 = 30
a9 = a8 + 4 = 34
a10 = a9 + 4 = 38
Percebeu como funciona? Esse valor constante recebe o nome de razão e é representado pela letra r. Portanto, podemos dizer que:
r = 4 |
O valor da razão de uma progressão aritmética é capaz de afirmar se ela é crescente, constante ou decrescente.
Quando r > 0, todos os elementos da progressão aritmética estão em ordem crescente.
Quando r = 0, todos os elementos da progressão aritmética são constantes.
Quando r < 0, todos os elementos da progressão aritmética estão em ordem decrescente.
É possível ainda perceber que em uma progressão aritmética, ao subtrair de um termo o seu antecessor, também encontramos o valor de sua razão:
a2 - a1 = a1 + r - a1 = r
a3 - a2 = a2 + r - a2 = r
a4 - a3 = a3 + r - a3 = r
Vale ressaltar que, para uma sequência numérica ser considerada uma progressão aritmética, é necessário conhecer seu primeiro termo e sua razão - ou as informações necessárias para ser capaz de descobri-los.
Quando se trata de uma PA, é possível envolver uma grande quantidade de operações matemáticas. No entanto, para realizá-las de maneira apropriada, é importante ter algumas fórmulas em mente. Confira:
Termo geral de uma progressão aritmética
Considerando uma progressão aritmética (a1, a2, a3, a4, a5… an), com a razão r, percebemos que:
a2 - a1 = r
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r ? a3 = a1 + r + r ? a3 = a1 + 2r
a4 = a3 + r ? a4 = a1 + 2r + r ? a4 = a1 + 3r
Portanto, seguindo essa lógica, é possível encontrar um elemento específico dentro de uma progressão aritmética com a seguinte fórmula:
an = a1 + (n - 1) × r |
Vamos praticar? Acompanhe o exemplo:
Considere encontrar o 12º termo de uma progressão aritmética, sabendo que a1 = 2 e r = 4.
an = a1 + (n - 1) × r ? a12 = 2 + (12 - 1) × 4
a12 = 2 + (11) × 4
a12 = 2 + 11 × 4
a12 = 2 + 11 × 4
a12 = 2 + 44 = 46
Portanto, o 12º termo da progressão será 46.
Soma dos termos de uma progressão aritmética
Para realizar a soma de determinados termos que compõem uma progressão aritmética, utiliza-se a seguinte fórmula:
Sn = (a1 + a?) × n/2 |
Que tal aplicar a fórmula para entendê-la melhor? Veja:
Calcule a soma dos oito primeiros termos de uma progressão aritmética, sabendo que a1 = 2 e a8 = 30.
S? = (a1 + a?) × n/2 ? S8 = (2 + 30) × 8/2
S8 = (32) × 8/2
S8 = 256/2 ? S8 = 128
Portanto, a soma dos oito primeiros termos dessa progressão é 128.
Propriedade especial de uma progressão aritmética
Em uma progressão aritmética, para três termos consecutivos, o termo central é igual à média dos outros dois termos. Acompanhe:
Para a progressão (...a, b, c…), temos:
r = b - a
r = c - b
Logo, b - a = c - b ? 2b = a + c
Portanto, b = a + c/2
Viu só? A progressão aritmética é uma importante sequência numérica, e compreendê-la é uma ótima oportunidade para perceber como ela está presente em diversos detalhes do nosso dia a dia.
Se você curtiu esse post, dá uma olhadinha em outros conteúdos que podem ser interessantes:
Como calcular porcentagem de forma fácil?
Conheça o Coach COC e organize seus estudos!
O aplicativo Coach COC é o seu novo parceiro para os estudos! Ele vai te ajudar a organizar sua rotina e planejar seu dia a dia. Acesse a página do app e baixe agora mesmo!
